Question

【题目】已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）上的点A（4，t）到其焦点F的距离为5．

（Ⅰ）求抛物线C的方程；

（Ⅱ）过点F作直线l，使得抛物线C上恰有三个点到直线1的距离为2，求直线1的方程．

Answer 1

【答案】（I）；（II）.

【解析】

（Ⅰ）由已知列式求出p的值，则抛物线的方程可求；

（Ⅱ）由题意可知，当直线l的斜率不存在时，C上仅有两个点到l的距离为2，不合题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k（x﹣1），要满足题意，需使在含坐标原点的弧上有且只有一个点P到直线l的距离为2，且过点P的直线l平行y＝k（x﹣1）且与抛物线C相切．设切线方程为y＝kx+m，与抛物线方程联立，利用判别式为0可得m与k的关系，再由F到直线y＝k（x﹣1）的距离为2求得k值，则直线l的方程可求．

（Ⅰ）由抛物线的定义可知|AF|＝d＝45，

解得：p＝2，

故抛物线的方程是：y2＝4x；

（Ⅱ）由题意可知，当直线l的斜率不存在时，C上仅有两个点到l的距离为2，不合题意；

当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k（x﹣1），

要满足题意，需使在含坐标原点的弧上有且只有一个点P到直线l的距离为2，

且过点P的直线l平行y＝k（x﹣1）且与抛物线C相切．

设切线方程为y＝kx+m，

代入y2＝4x，可得k2x2+（2km﹣4）x+m2＝0．

由△＝（2km﹣4）2﹣4k2m2＝0，得km＝1．

由，整理得：3k2﹣2km﹣m2+4＝0．

即，解得，即k．

因此，直线方程为y．