Question

11．已知函数$f（x）=lnx+\frac{a}{x-1}$在$（0，\frac{1}{e}）$内有极值，则实数a的取值范围是（e+$\frac{1}{e}$-2，+∞）．

Answer 1

分析 求出函数的导数，令g（x）=x²-（a+2）x+1=（x-α）（x-β），求出g（$\frac{1}{e}$）＜0，解出a即可．

解答 解：函数的定义域为（0，1）∪（1，+∞）
求导函数f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{a}{{（x-1）}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}-（a+2）x+1}{{x（x-1）}^{2}}$，
∵函数f（x）在（0，$\frac{1}{e}$）内有极值
∴f′（x）=0在（0，$\frac{1}{e}$）内有解，
令g（x）=x²-（a+2）x+1=（x-α）（x-β）
∵αβ=1，不妨设0＜α＜$\frac{1}{e}$，则β＞e
∵g（0）=1＞0，
∴g（$\frac{1}{e}$）=$\frac{1}{{e}^{2}}$-$\frac{a+2}{e}$+1＜0，
∴a＞e+$\frac{1}{e}$-2，
故答案为：（e+$\frac{1}{e}$-2，+∞）．

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查函数的极值问题以及导数的应用，是一道中档题．