Question

6．如图，已知OPQ是半径为1，圆心角为$\frac{π}{3}$的扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形．
（1）求扇形OPQ的面积；
（2）记∠COP=α，求当角α取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积．

Answer 1

分析 （1）利用扇形的面积公式求扇形OPQ的面积；
（2）先把矩形的各个边长用角α表示出来，进而表示出矩形的面积；再利用角α的范围，结合正弦函数的性质可求求矩形面积的最大值即可．

解答 解：（1）扇形OPQ的面积=$\frac{1}{2}•\frac{π}{3}•1•1$=$\frac{π}{6}$；
（2）在RT△OBC中，OB=OC•cosα=cosα，BC=OC•sinα=sinα
在RT△OAD中，OA=$\frac{\sqrt{3}}{3}$sinα，AB=OB-OA=cosα-$\frac{\sqrt{3}}{3}$sinα
矩形ABCD的面积S=AB•BC=（cosα-$\frac{\sqrt{3}}{3}$sinα）sinα=$\frac{\sqrt{3}}{3}$sin（2α+$\frac{π}{6}$）-$\frac{\sqrt{3}}{6}$
由0＜α＜$\frac{π}{3}$，得$\frac{π}{6}$＜2α+$\frac{π}{6}$＜$\frac{5π}{6}$
所以当2α+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$即α=$\frac{π}{6}$时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为$\frac{\sqrt{3}}{6}$．

点评 本题考查在实际问题中建立三角函数模型，求解问题的关键是根据图形建立起三角模型，将三角模型用所学的恒等式变换公式进行化简．