Question

若log2a

1+a2

1+a

＜0，则a的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：根据对数函数的性质，分0＜2a＜1与a＞

1

2

两种情况讨论，由对数函数的单调性与特殊点可得不等式，解可得a的取值范围，综合分类情况，可得答案．

解答：解：根据对数函数的性质，分两种情况，
①、0＜2a＜1，即0＜a＜

1

2

时，y=log_2ax为减函数，
若log2a

1+a2

1+a

＜0，有

1+a2

1+a

＞1，
解可得，a＞1，
又有0＜a＜

1

2

，故符合条件的a不存在；
②、2a＞1，即a＞

1

2

时，
若log2a

1+a2

1+a

＜0，有0＜

1+a2

1+a

＜1，
解可得，0＜a＜1，
又有a＞

1

2

，故符合条件的a范围为

1

2

＜a＜1，
综合可得，a的取值范围是

1

2

＜a＜1．

点评：本题考查对数函数的单调性与特殊点，注意单调性按底数分两种情况，其特殊点为（1，0）．