Question

已知数列{a_n}具有性质：①a₁为整数；②对于任意的正整数n，当a_n为偶数时，；当a_n为奇数时，．
（1）若a₁为偶数，且a₁，a₂，a₃成等差数列，求a₁的值；
（2）设（m＞3且m∈N），数列{a_n}的前n项和为S_n，求证：；
（3）若a₁为正整数，求证：当n＞1+log₂a₁（n∈N）时，都有a_n=0．

Answer 1

【答案】分析：（1）先设a₁=2k，a₂=k，得到a₃=0，再分两种情况：k是奇数，若k是偶数，即可求出a₁的值；
（2）根据题意知，当m＞3时，．再利用等比数列的求和公式即可证得结果；
（3）由于n＞1+log₂a₁，从而n-1＞log₂a₁，得出2^n-1＞a₁由定义可得，利用累乘的形式有，从而，再根据a_n∈N，得出当n＞1+log₂a₁（n∈N）时，都有a_n=0．
解答：解：（1）设a₁=2k，a₂=k，则：2k+a₃=2k，a₃=0
分两种情况：k是奇数，则，k=1，a₁=2，a₂=1，a₃=0
若k是偶数，则，k=0，a₁=0，a₂=0，a₃=0
（2）当m＞3时，，
∴
（3）∵n＞1+log₂a₁，∴n-1＞log₂a₁，∴2^n-1＞a₁
由定义可知：
∴
∴
∴
∵a_n∈N，∴a_n=0，
综上可知：当n＞1+log₂a₁（n∈N）时，都有a_n=0
点评：本题主要考查了等差数列与等比数列的综合，同时考查了等比数列的通项公式、等比数列前n项求和公式，解题时要认真审题，仔细观察规律，避免错误，属于中档题．