Question

已知等比数列{a_n}的各项均为正数，且a₅-a₁=15，a₄-a₂=6．
（1）求数列{a_n}的通项公式．
（2）设c_n=log₂a₁+log₂a₂+…+log₂a_n+1，若

1

c1

+

1

c2

+

1

c3

+…+

1

cn

＜M恒成立，求实数M的最小值．

Answer 1

分析：（1）根据等比数列的通项公式为a_n=a₁q^n-1求出a₁和q，从而得到通项公式；
（2）因为c_n=log₂a₁+log₂a₂+…+log₂a_n+1，从而可求c_n，进而可求其倒数，利用裂项求和，从而可得其最小值，故可解．

解答：解：（1）设等比数列的公比为q，由已知有a₁q⁴-a₁=15，a₁q³-a₁q=6，显然q≠1，
两式相除得2q²-5q+2=0⇒q=

1

2

或q=2，…2分
q=

1

2

⇒a1=-16＜0舍去，…4分
q=2⇒a₁=1，⇒a_n=2^n-1（n∈N^*）…6分
（2）由已知有cn=1+2+3+…+n=

n(n+1)

2

…8分

1

cn

=

2

n(n+1)

=2(

1

n

-

1

n+1

)

1

c1

+

1

c2

+

1

c3

+…+

1

cn

=2(1-

1

2

+

1

2

-

1

3

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+1

)=2(1-

1

n+1

)＜2…10分
要

1

c1

+

1

c2

+

1

c3

+…+

1

cn

＜M恒成立，只需2≤M，所以M_min=2…12分

点评：本题以等比数列为载体，考查等比数列的通项，考查裂项求和法的运用，属于中档题．