Question

（2013•黄浦区二模）已知数列{a_n}具有性质：①a₁为整数；②对于任意的正整数n，当a_n为偶数时，an+1=

an

2

；当a_n为奇数时，an+1=

an-1

2

．
（1）若a₁为偶数，且a₁，a₂，a₃成等差数列，求a₁的值；
（2）设a1=2m+3（m＞3且m∈N），数列{a_n}的前n项和为S_n，求证：Sn≤2m+1+3；
（3）若a₁为正整数，求证：当n＞1+log₂a₁（n∈N）时，都有a_n=0．

Answer 1

分析：（1）先设a₁=2k，a₂=k，得到a₃=0，再分两种情况：k是奇数，若k是偶数，即可求出a₁的值；
（2）根据题意知，当m＞3时，Sn≤Sm+1=1+2+…+2m+4．再利用等比数列的求和公式即可证得结果；
（3）由于n＞1+log₂a₁，从而n-1＞log₂a₁，得出2^n-1＞a₁由定义可得

an+1

an

≤

1

2

，利用累乘的形式有an=

an

an-1

•

an-1

an-2

•…•

a2

a1

•a1≤

1

2n-1

a1，从而an＜

1

2n-1

•2n-1=1，再根据a_n∈N，得出当n＞1+log₂a₁（n∈N）时，都有a_n=0．

解答：解：（1）设a₁=2k，a₂=k，则：2k+a₃=2k，a₃=0
分两种情况：k是奇数，则a3=

a2-1

2

=

k-1

2

=0，k=1，a₁=2，a₂=1，a₃=0
若k是偶数，则a3=

a2

2

=

k

2

=0，k=0，a₁=0，a₂=0，a₃=0
（2）当m＞3时，a1=2m+3，a2=2m-1+1，a3=2m-2，a4=2m-3，a5=2m-4，…，am=2，am+1=1，am+2=…=an=0
∴Sn≤1+1+3+2+22+23…+2m=5+

2(1-2m)

1-2

=2m+1 +3
（3）∵n＞1+log₂a₁，∴n-1＞log₂a₁，∴2^n-1＞a₁
由定义可知：an+1=

an 2 ，an是偶数 an-1 2 ，an是奇数

≤

an

2

∴

an+1

an

≤

1

2

∴an=

an

an-1

•

an-1

an-2

•…•

a2

a1

•a1≤

1

2n-1

a1
∴an＜

1

2n-1

•2n-1=1
∵a_n∈N，∴a_n=0，
综上可知：当n＞1+log₂a₁（n∈N）时，都有a_n=0

点评：本题主要考查了等差数列与等比数列的综合，同时考查了等比数列的通项公式、等比数列前n项求和公式，解题时要认真审题，仔细观察规律，避免错误，属于中档题．