题目内容

已知等比数列{a_n}的各项均为正数，且a₅-a₁=15，a₄-a₂=6．
（1）求数列{a_n}的通项公式．
（2）设c_n=log₂a₁+log₂a₂+…+log₂a_n+1，若 $数学公式$ 恒成立，求实数M的最小值．

解：（1）设等比数列的公比为q，由已知有a₁q⁴-a₁=15，a₁q³-a₁q=6，显然q≠1，
两式相除得2q²-5q+2=0 $\text{[math]}$ 或q=2，…2分
$\text{[math]}$ 舍去，…4分
q=2?a₁=1，?a_n=2^n-1（n∈N^*）…6分
（2）由已知有 $\text{[math]}$ …8分 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ＜2…10分
要 $\text{[math]}$ 恒成立，只需2≤M，所以M_min=2…12分
分析：（1）根据等比数列的通项公式为a_n=a₁q^n-1求出a₁和q，从而得到通项公式；
（2）因为c_n=log₂a₁+log₂a₂+…+log₂a_n+1，从而可求c_n，进而可求其倒数，利用裂项求和，从而可得其最小值，故可解．
点评：本题以等比数列为载体，考查等比数列的通项，考查裂项求和法的运用，属于中档题．