Question

如图四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠ACB=90°，PA⊥平面ABCD，F是BC的中点．

（1）求证：DA⊥平面PAC；

（2）试在线段PD上确定一点G，使CG∥平面PAF，并说明理由．

Answer 1

考点：

直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的性质．

专题：

空间位置关系与距离．

分析：

（1）利用平行四边形的性质和平行线的性质可得AD⊥AC，再利用线面垂直的性质可得PA⊥AC，利用线面垂直的判定定理即可证明；

（2）设PD的中点为G，在平面PAD内作GH⊥PA于H，利用三角形的中位线定理可得GH，进而得到平行四边形CFGH，得到GC∥FH，利用线面平行的判定定理即可证明．

解答：

（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴BC∥AD，

∴∠ACB=∠DAC=90°，∴DA⊥AC．

∵PA⊥平面ABCD，

∴PA⊥DA，又AC⊥DA，AC∩PA=A，

∴DA⊥平面PAC．

（Ⅱ）设PD的中点为G，在平面PAD内作GH⊥PA于H，则GH，

连接FH，则四边形FCGH为平行四边形，

∴GC∥FH，

∵FH⊂平面PAE，CG⊄平面PAE，

∴CG∥平面PAE，

∴G为PD中点时，CG∥平面PAE．

点评：

熟练掌握平行四边形的性质和平行线的性质、线面垂直的性质、判定定理、三角形的中位线定理、平行四边形判定与性质定理、线面平行的判定定理是解题的关键．