Question

如图四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PC⊥平面ABCD，F是DC的中点，

AE

=2

EP

．
（Ⅰ）试判断直线EF与平面PBC的位置关系，并予以证明；
（Ⅱ）若四棱锥P-ABCD体积为

8

3

，CD=2

2

PC=BC=2，求证：平面BDE⊥面PBC．

Answer 1

分析：（Ⅰ）直线EF与平面PBC相交，过E作EG∥AB交PB于G，根据题中条件可得：FC≠EG，又因为FC∥AB，所以EG∥FC，进而得到两条直线相交．，即可得到直线与平面相交．
（Ⅱ）过B作BH⊥CD于H，由四棱锥P-ABCD体积为

8

3

，结合题中的条件可得BH=

2

，所以CH=

2

，所以BH=CH=HD，所以DB⊥BC．再利用面面垂直的判定定理可得面面垂直．

解答：证明：（Ⅰ）直线EF与平面PBC相交．…（2分）
证明如下：过E作EG∥AB交PB于G，
∵

AE

=2

EP

，∴

PE

PA

=

1

3

，
∴EG=

1

3

AB，∵FC=

1

2

CD=

1

2

AB，
∴FC≠EG…（4分）
由底面ABCD是平行四边形得FC∥AB，
∴EG∥FC…（5分）
∴EF与CG相交，
故直线EF与平面PBC相交．…（6分）
（Ⅱ）解：过B作BH⊥CD于H，
∵四棱锥P-ABCD体积为

8

3

，PC⊥平面ABCD，
∴

1

3

PC•DC•BH=

8

3

，PC⊥BD．
∴BH=

2

，…（9分）
∵BC=2∴CH=

2

，
∵CD=2

2

，
∴BH=CH=HD，
∴DB⊥BC．
∴DB⊥面PBC，…（11分）
∵BD?面BDE，
∴平面BDE⊥面PBC．…（12分）

点评：本题考查线面的位置关系与面面垂直的判定定理，解决此类问题的关键是熟练掌握几何体的结构特征，以便利用有关定理进行证明与推理论证．