Question

如图四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PG⊥平面ABCD，垂足为G，G在AD上，且PG=4，AG=

1

3

GD，BG⊥GC，GB=GC=2，E是BC的中点．
（1）求异面直线GE与PC所成的角的余弦值；
（2）求点D到平面PBG的距离；
（3）若F点是棱PC上一点，且DF⊥GC，求

PF

FC

的值．

Answer 1

分析：（1）以G点为原点，GB，GC，GP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，写出要用的点的坐标，写出两条异面直线对应的向量，根据两个向量的所成的角确定异面直线所成的角．
（2）计算点到面的距离，需要先做出面的法向量，在法向量与点到面的一个点所成的向量之间的运算，得到结果．
（3）设出点的坐标，根据两条线段垂直，得到两个向量的数量积等于0，解出点到坐标，根据向量的模长之比等于线段之比，得到结果．

解答：解：（1）以G点为原点，GB，GC，GP为x轴、y轴、
z轴建立空间直角坐标系，则B（2，0，0），C（0，2，0），

P（0，0，4），故E（1，1，0）

GE

=（1，1，0），

PC

=（0，2，4）．
cosθ=

GE • PC

| GE || PC |

=

10

10

，
∴GE与PC所成的余弦值为

10

10

（2）平面PBG的单位法向量

n

=（0，±1，0）
∵

GD

=

3

4

 

AD

 =

3

4

BC

=(-

3

2

，

3

2

，0)，
∴点D到平面PBG的距离为|

GD

•

n

|=

3

2

（3）设F（0，y，z），则

DF

=(0，y，z)-(-

3

2

，

3

2

，0)=(

3

2

，y-

3

2

，z)
∵

DF

⊥

GC

，
∴(

3

2

，y-

3

2

，z)(0，20)=2y-3=0，
∴y=

3

2

，又

PF

=λ

PC

，即（0，

3

2

，z-4）=λ（0，2，-4），∴z=1，
故F（0，

3

2

，1），

PF

=(0，

3

2

，-3)，

FC

=(0，

1

2

，-1)，
∴

PF

FC

=

2 5 2

5 2

=3．

点评：本题考查空间几何量的计算，准确把握立体几何的最新发展趋势：这样可以减低题目的难度，坚持向量法与公理化法的“双轨”处理模式，在复习备考时应引起高度注意．