Question

19、如图四棱锥P-ABCD，PC⊥面ABCD，PC=2，面ABCD是边长为1的正方形，E是侧棱PC上的动点．
（Ⅰ） 当点E在什么位置时，AP∥面EBD？并证明；
（Ⅱ） 是否不论点E在何位置，都有BD⊥AE？证明你的结论．

Answer 1

分析：（I）令E点为PC的中点，连接AC交BD于O点，连接OE，由三角形中位线法则，易得OE∥PA，结合线面平行的判定定理，即可得到AP∥面EBD，进而得到结论．
（II）连接AC，由正方形对角线互相垂直，则已知中PC⊥面ABCD，我们易得BD⊥AE，BD⊥AC，由线面垂直的判定定理得BD⊥平面PAC，再由线面垂直的性质即可得到不论点E在何位置，都有BD⊥AE．

解答：解：（Ⅰ）当E点为PC的中点时，AP∥面EBD
连接AC交BD于O点，连接OE，
∵O为AC的中点，E为PC的中点
∴OE∥PA
又由OE?面EBD，PA?面EBD
∴AP∥面EBD
（Ⅱ）不论点E在何位置，都有BD⊥AE．
证明如下：连接AC，∵ABCD是正方形，∴BD⊥AC．
∵PC⊥底面ABCD，且BD?平面ABCD，∴BD⊥PC．
又∵AC∩PC=C，∴BD⊥平面PAC．
∵不论点E在何位置，都有AE?平面PAC．
∴不论点E在何位置，都有BD⊥AE．

点评：本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的性质，其中熟练掌握空间直线与直线、直线与平面平行或垂直的判定定理及证明步骤是解答此类问题的关键．