Question

（本小题满分16分）
如图，椭圆的右焦点为，右准线为，

（1）求到点和直线的距离相等的点的轨迹方程。
（2）过点作直线交椭圆于点，又直线交于点,若，
求线段的长；
（3）已知点的坐标为，直线交直线于点，且和椭圆的一个交点为点，是否存在实数，使得，若存在，求出实数；若不存在，请说明理由。

Answer 1

（1）. 
（2）|． 
（3）假设存在实数满足题意．
由已知得 ①
 ②
椭圆C：  ③
由①②解得，．
由①③解得，．            
∴，
．
故可得满足题意．                                

第一问，由椭圆方程为
可得，，，
 ，．     
设，则由题意可知，
化简得点G的轨迹方程为
第二问中，由题意可知，故将代入，
可得，从而
第三问中，假设存在实数满足题意．由已知得 ① ②
椭圆C：由①②解得，．
由①③解得，
结合向量的数量积得到结论。
解：（1）由椭圆方程为
可得，，，
 ，．     
设，则由题意可知，
化简得点G的轨迹方程为. …………4分
（2）由题意可知，
故将代入，
可得，从而．  ……………8分
（3）假设存在实数满足题意．
由已知得 ①
 ②
椭圆C：  ③
由①②解得，．
由①③解得，．             ………………………12分
∴，
．
故可得满足题意．                                 ………………………16分