Question

6．已知等差数列{a_n}满足：a₂=5，a₅=11，其前n项和为S_n．
（1）求a_n及S_n；
（2）令b_n=$\frac{4}{{{a_n}^2-1}}（{n∈{N^*}}）$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）求出数列的首项与公差，然后求解通项公式以及数列和．
（2）化简数列的通项公式，利用裂项消项法求解数列的和即可．

解答 解：（1）设数列的首项为a₁，公差为d．因为a₂=5，a₅=11，所以d=$\frac{{a}_{5}-{a}_{2}}{5-2}$=2，
可得a₁=3，所以a_n=3+2（n-1）=2n+1，
S_n=$\frac{n（{a}_{1}+{a}_{n}）}{2}$=n²+2n．
（2）由（1）可知a_n=2n+1，
所以b_n=$\frac{4}{{{a}_{n}}^{2}-1}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
所以T_n=1$-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$$-\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$．
数列{b_n}的前n项和T_n为：$\frac{n}{n+1}$．

点评 本题考查数列的求和，等差数列的通项公式的求法，裂项相消法的应用，考查计算能力．