Question

9．已知函数$f（x）=\frac{{-a{x^2}-2ax+3}}{{{x^2}+2x+2}}$．
（1）若a=0，求f（x）的值域；
（2）当a=1时，解方程f（x）=0；
（3）若对于任意的实数x，都有f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）将a=0的值带入f（x），从而求出函数的值域即可；
（2）将a=1带入f（x），令f（x）=0，解方程即可；
（3）问题转化为ax²+2ax-3＜0恒成立，通过讨论a的符号，结合二次函数的性质求出a的范围即可．

解答 解：（1）a=0时，$f（x）=\frac{3}{{{x^2}+2x+2}}=\frac{3}{{{{（{x+1}）}^2}+1}}$
分母（x+1）²+1∈[1，+∞），故f（x）∈（0，3]
即函数f（x）的值域为（0，3]；----------------------------------------（5分）
（2）a=1时，f（x）=$\frac{{-x}^{2}-2x+3}{{x}^{2}+2x+2}$，
则f（x）=0⇒-x²-2x+3=0⇒x=-3或1
即f（x）=0的根为-3，1--------------------（10分）
（3）由题意$\frac{-{ax}^{2}-2ax+3}{{x}^{2}+2x+2}$＞0恒成立，
∵x²+2x+2＞0恒成立，----------------（12分）
∴只要-ax²-2ax+3＞0恒成立即可，
即ax²+2ax-3＜0恒成立
①当a=0时，-3＜0恒成立，符合题意
②当a≠0时，$\left\{\begin{array}{l}a＜0\\△=4{a^2}+12a＜0\end{array}\right.⇒-3＜a＜0$-------------------------------（15分）
综上所述：-3＜a≤0--------------------------------------------------（16分）

点评 本题考查了求函数的值域，解方程问题，考查函数恒成立以及二次函数的性质，是一道中档题．