题目内容
已知数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且a1=11，b1=1，a2+b2=11，a3+b3=11．
（Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{|an-bn|}的前n项的和Sn．
（Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{|an-bn|}的前n项的和Sn．
考点：数列的求和,数列递推式
专题：综合题,等差数列与等比数列
分析：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，依题意，得
，解之即可求得数列{an}和{bn}的通项公式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：|an-bn|=|13-2n-2n-1|；通过对0＜n≤3与n＞3的讨论，去掉绝对值符号后分利用分组求和的方法即可求得数列{|an-bn|}的前n项的和Sn．
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（Ⅱ）由（Ⅰ）得：|an-bn|=|13-2n-2n-1|；通过对0＜n≤3与n＞3的讨论，去掉绝对值符号后分利用分组求和的方法即可求得数列{|an-bn|}的前n项的和Sn．
解答：
解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，则
，解得
，
所以an=-2n+13，bn=2n-1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：|an-bn|=|13-2n-2n-1|；
（i）0＜n≤3时，an＞bn，an-bn=13-2n-2n-1，Sn=
-
=-2n-n2+12n+1，且S3=20；
（ii）n＞3时，an＜bn，|an-bn|=bn-an=2n-1-（13-2n），
Sn-S3=
-
=2n+n2-12n+19，
∴Sn=2n+n2-12n+39；
综上所述，Sn=
．
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所以an=-2n+13，bn=2n-1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：|an-bn|=|13-2n-2n-1|；
（i）0＜n≤3时，an＞bn，an-bn=13-2n-2n-1，Sn=
| (11-2n+13)n |
| 2 |
| 1×(1-2n) |
| 1-2 |
（ii）n＞3时，an＜bn，|an-bn|=bn-an=2n-1-（13-2n），
Sn-S3=
| 8(1-2n-3) |
| 1-2 |
| (5-2n+13)(n-3) |
| 2 |
∴Sn=2n+n2-12n+39；
综上所述，Sn=
|
点评：本题考查等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查方程思想与分类讨论思想、等价转化思想的综合应用，属于难题．
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