Question

14．已知数列{a_n}满足$\frac{1}{{{a_{n+1}}}}-\frac{1}{a_n}$=2，且a₁=$\frac{1}{2}，n∈{N_+}$．
（Ⅰ）设数列{b_n}的前n项和为S_n，若数列{b_n}满足b_n=$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{{\sqrt{n-1}+\sqrt{n+1}}}（{n=2k-1}）\\{a_{\frac{n}{2}}}{a_{\frac{n}{2}+1}}（{n=2k}）\end{array}\right.（{k∈{N_+}}）$，求S₆₄；
（Ⅱ）设T_n=$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}+…+\frac{1}{a_n}$，是否存在常数c，使$\left\{{\frac{T_n}{n+c}}\right\}$为等差数列，请说明理由．

Answer 1

分析 数列{a_n}满足$\frac{1}{{{a_{n+1}}}}-\frac{1}{a_n}$=2，且a₁=$\frac{1}{2}，n∈{N_+}$，可知：数列$\{\frac{1}{{a}_{n}}\}$是等差数列，公差为2，首项为2，可得a_n=$\frac{1}{2n}$．
（I）当n=2k-1（k∈N^*）时，b_n=b_2k-1=$\frac{1}{\sqrt{n-1}+\sqrt{n+1}}$=$\frac{1}{2}（\sqrt{n+1}-\sqrt{n-1}）$；当n=2k时，b_n=b_2k=${a}_{\frac{n}{2}}{a}_{\frac{n}{2}+1}$=a_ka_k+1=$\frac{1}{2k}•\frac{1}{2（k+1）}$=$\frac{1}{4}$$（\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}）$．利用“分组求和”方法可得：S₆₄=（b₁+b₃+…+b₆₃）+（b₂+b₄+…+b₆₄）．
（II）由$\frac{1}{{a}_{n}}$=2n，可得T_n=n²+n．假设存在常数c，使$\left\{{\frac{T_n}{n+c}}\right\}$为等差数列，利用$2×\frac{{T}_{2}}{2+c}$=$\frac{{T}_{1}}{1+c}$+$\frac{{T}_{3}}{3+c}$解出c，并验证即可得出．

解答 解：∵数列{a_n}满足$\frac{1}{{{a_{n+1}}}}-\frac{1}{a_n}$=2，且a₁=$\frac{1}{2}，n∈{N_+}$，∴数列$\{\frac{1}{{a}_{n}}\}$是等差数列，公差为2，首项为2，∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=2+2（n-1）=2n，a_n=$\frac{1}{2n}$．
（I）当n=2k-1（k∈N^*）时，b_n=b_2k-1=$\frac{1}{\sqrt{n-1}+\sqrt{n+1}}$=$\frac{1}{2}（\sqrt{n+1}-\sqrt{n-1}）$；
当n=2k时，b_n=b_2k=${a}_{\frac{n}{2}}{a}_{\frac{n}{2}+1}$=a_ka_k+1=$\frac{1}{2k}•\frac{1}{2（k+1）}$=$\frac{1}{4}$$（\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}）$．
∴S₆₄=（b₁+b₃+…+b₆₃）+（b₂+b₄+…+b₆₄）
=$\frac{1}{2}$$[（\sqrt{2}-\sqrt{0}）$+$（\sqrt{4}-\sqrt{2}）$+…+$（\sqrt{64}-\sqrt{62}）]$+$\frac{1}{4}$$[（\frac{1}{1}-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{32}-\frac{1}{33}）]$
=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{64}$+$\frac{1}{4}（1-\frac{1}{33}）$
=4+$\frac{8}{33}$=$\frac{140}{33}$．
（II）∵$\frac{1}{{a}_{n}}$=2n，
∴T_n=$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}+…+\frac{1}{a_n}$=2（1+2+…+n）=$2×\frac{n（n+1）}{2}$=n²+n．
假设存在常数c，使$\left\{{\frac{T_n}{n+c}}\right\}$为等差数列，
则$\frac{{T}_{1}}{1+c}$=$\frac{2}{1+c}$，$\frac{{T}_{2}}{2+c}$=$\frac{6}{2+c}$，$\frac{{T}_{3}}{3+c}$=$\frac{12}{3+c}$，
则$2×\frac{6}{2+c}$=$\frac{2}{1+c}$+$\frac{12}{3+c}$，
化为：c=0．
∴$\frac{{T}_{n}}{n+c}$=$\frac{{n}^{2}+n}{n}$=n+1是关于n的一次函数，是等差数列．

点评 本题考查了递推关系、等差数列的通项公式及其前n项和公式、“分组求和”方法、“裂项求和”方法，考查了分类讨论、推理能力与计算能力，属于中档题．