Question

19．设敬列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₁=4，a_n+1=S_n+3ⁿ，n∈N^*．
（Ⅰ）设b_n=S_n-3ⁿ，求证：数列{b_n}是等比数列；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式a_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）在已知递推式中，以S_n+1-S_n替换a_n+1，然后利用构造法可得${S}_{n+1}-{3}^{n+1}=2（{S}_{n}-{3}^{n}）$，即b_n+1=2b_n，得到数列{b_n}是等比数列；
（Ⅱ）求出等比数列的通项公式，再由a_n=S_n-S_n-1求得数列{a_n}的通项公式a_n．

解答 （Ⅰ）证明：由a_n+1=S_n+3ⁿ，得${S}_{n+1}-{S}_{n}={S}_{n}+{3}^{n}$，
∴${S}_{n+1}=2{S}_{n}+{3}^{n}$，则${S}_{n+1}-{3}^{n+1}=2（{S}_{n}-{3}^{n}）$，
∵b_n=S_n-3ⁿ，∴b_n+1=2b_n，
∵b₁=S₁-3=a₁-3=4-3=1≠0，
∴$\frac{{b}_{n+1}}{{b}_{n}}=2$，
即数列{b_n}是等比数列；
（Ⅱ）解：∵数列{b_n}是等比数列，且b₁=1，q=2，
∴${b}_{n}={S}_{n}-{3}^{n}={2}^{n-1}$，
则${S}_{n}={3}^{n}+{2}^{n-1}$．
当n≥2时，${a}_{n}={S}_{n}-{S}_{n-1}={3}^{n}+{2}^{n-1}-{3}^{n-1}-{2}^{n-2}$=2•3^n-1+2^n-2．
验证n=1时，上式不成立．
∴${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{4，n=1}\\{2•{3}^{n-1}+{2}^{n-2}，n≥2}\end{array}\right.$．

点评 本题考查数列递推式，考查等比关系的确定，训练了等比数列通项公式的求法，是中档题．