Question

（理科加试题）已知

OA

=(1，0，2)，

OB

=(2，2，0)，

OC

=(0，1，2)，点M在直线OC上运动，当

MA

•

MB

取最小时，求点M的坐标．

Answer 1

分析：由点M在直线OC上可设

OM

=λ

OC

=(o，λ，2λ)，从而可求

MA

 ，

MB

，利用向量的数量积可求得

MA

•

MB

=2-λ(2-λ)-2λ(2-2λ)=5λ2-6λ+2，根据二次函数的知识可求最值

解答：解：设

OM

=λ

OC

=(o，λ，2λ)，（2分）
∴

MA

=

MO

+

OA

=(1，-λ，2-2λ)，（3分）

MB

=

MO

+

OB

=(2，2-λ，-2λ)，（4分）
∴

MA

•

MB

=2-λ(2-λ)-2λ(2-2λ)=5λ2-6λ+2（6分）
=5(λ-

3

5

)2+

1

5

，（8分）
∴当λ=

3

5

时，

MA

•

MB

最小；此时M(0，

3

5

，

6

5

)．（10分）

点评：本题以向量的数量积为切入点，主要考查了利用二次函数的性质求解函数的最值问题，试题难度不大．