Question

加试题：已知曲线，过P₁（1，0）作y轴的平行线交曲线C于Q₁，过Q₁作曲线C的切线与x轴交于P₂，过P₂作与y轴平行的直线交曲线C于Q₂，照此下去，得到点列P₁，P₂，…，和Q₁，Q₂，…，设，．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求证：b₁+b₂+…+b_n＞2ⁿ-2^-n；
（3）求证：曲线C与它在点Q_n处的切线，以及直线P_n+1Q_n+1所围成的平面图形的面积与正整数n的值无关．

Answer 1

【答案】分析：（1）本题由导数可求出过点Q_n的直线方程，即直线Q_nP_n+1的方程，进而可以求出点Q_n与点Q_n+1之间横坐标的关系x_n+1=2x_n，从而可求出x_n的通项公式，由由于数列a_n与y_n相等，故将x_n通项公式代入函数解析式即可求解．
（2）借助（1）中的x_n和y_n与a_n的等式关系，可知Q_n和Q_n+1坐标，由此求出b_n的通项公式，并借助不等式a²+b²≥2ab的推导公式2（a²+b²）≥a²+b²+2ab=（a+b）²的变式≥a+b进行放缩后，由等比数列求和公式即可证明其结论．
（3）由图形可知，所求面积的图形为不规则的曲边三角形，故可结合定积分的几何意义来借助定积分计算公式进行面积的计算．
解答：解：（1）∵．
设Q_n（x_n，y_n），则直线Q_nP_n+1的方程为，
令y=0，得x_n+1=x_n+x_n²y_n，∵x_ny_n=1，∴x_n+1=2x_n，
则数列{x_n}是首项为1，公比为2的等比数列，于是x_n=2^n-1．
从而．
（2）∵，
∴=
=
=．
利用2（a²+b²）≥（a+b）²（a＞0，b＞0），
当且仅当a=b时取等号，得．
于是
=
=．
（3）曲边三角形Q_nP_n+1Q_n+1是由曲线与直线P_n+1Q_n+1、切线Q_nP_n+1所围成的图形．于是
==
==
点评：本题主要考查学生对数列，导数，定积分，不等式证明的综合应用的能力，综合能力要求较强，尤其是第二小问的证明，学生易在放缩的这步出现解题困难．