Question

加试题：已知曲线C：y=

1

x

(x＞0)，过P₁（1，0）作y轴的平行线交曲线C于Q₁，过Q₁作曲线C的切线与x轴交于P₂，过P₂作与y轴平行的直线交曲线C于Q₂，照此下去，得到点列P₁，P₂，…，和Q₁，Q₂，…，设|

PnQn

|=an，

2

|

QnQn+1

|=bn(n∈N*)．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求证：b₁+b₂+…+b_n＞2ⁿ-2^-n；
（3）求证：曲线C与它在点Q_n处的切线，以及直线P_n+1Q_n+1所围成的平面图形的面积与正整数n的值无关．

Answer 1

分析：（1）本题由导数可求出过点Q_n的直线方程，即直线Q_nP_n+1的方程，进而可以求出点Q_n与点Q_n+1之间横坐标的关系x_n+1=2x_n，从而可求出x_n的通项公式，由由于数列a_n与y_n相等，故将x_n通项公式代入函数解析式即可求解．
（2）借助（1）中的x_n和y_n与a_n的等式关系，可知Q_n和Q_n+1坐标，由此求出b_n的通项公式，并借助不等式a²+b²≥2ab的推导公式2（a²+b²）≥a²+b²+2ab=（a+b）²的变式

2

a2+b2

≥a+b进行放缩后，由等比数列求和公式即可证明其结论．
（3）由图形可知，所求面积的图形为不规则的曲边三角形，故可结合定积分的几何意义来借助定积分计算公式进行面积的计算．

解答：解：（1）∵y=

1

x

，∴y/=-

1

x2

．
设Q_n（x_n，y_n），则直线Q_nP_n+1的方程为y-yn=-

1

xn2

(x-xn)，
令y=0，得x_n+1=x_n+x_n²y_n，∵x_ny_n=1，∴x_n+1=2x_n，
则数列{x_n}是首项为1，公比为2的等比数列，于是x_n=2^n-1．
从而an=|PnQn|=yn=

1

xn

=

1

2n-1

．
（2）∵Qn(

1

an

，an)，Qn+1(

1

an+1

，an+1)，
∴bn=

2

|

QnQn+1

|=

2

( 1 an - 1 an+1 )2+(an-an+1)2

=

2

(2n-1-2n)2+( 1 2n-1 - 1 2n )2

=

2

(2n-1)2+( 1 2n )2

．
利用2（a²+b²）≥（a+b）²（a＞0，b＞0），
当且仅当a=b时取等号，得bn=

2

(2n-1)2+( 1 2n )2

＞2n-1+

1

2n

．
于是

n

i=1

bi＞(1+

1

2

)+(2+

1

22

)++(2n-1+

1

2n

)
=(1+2++2n-1)+(

1

2

+

1

22

++

1

2n

)
=

1-2n

1-2

+

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

=2n-

1

2n

．
（3）曲边三角形Q_nP_n+1Q_n+1是由曲线y=

1

x

与直线P_n+1Q_n+1、切线Q_nP_n+1所围成的图形．于是S=

∫

xn+1 xn

[

1

x

-(-

x

xn2

+

2

xn

)]dx
=

∫

2xn xn

(

1

x

+

x

xn2

-

2

xn

)dx=[lnx+

x2

2xn2

-

2x

xn

]

2xn xn

=(ln2xn+2-4)-(lnxn+

1

2

-2)=ln2-

1

2

点评：本题主要考查学生对数列，导数，定积分，不等式证明的综合应用的能力，综合能力要求较强，尤其是第二小问的证明，学生易在放缩的这步出现解题困难．