Question

15．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{6}}{3}$，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为$\frac{5\sqrt{2}}{3}$．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知动直线y=k（x+1）与椭圆C相交于A、B两点，点M（-$\frac{7}{3}$，0），求证：$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$为定值．

Answer 1

分析 （1）根据椭圆的性质列方程解出a，b；
（2）联立方程组消元，得出A，B坐标的关系，代入向量的数量积公式计算即可．

解答 解：（1）由题意得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{6}}{3}}\\{{a}^{2}-{b}^{2}={c}^{2}}\\{\frac{1}{2}×2c×b=\frac{5\sqrt{2}}{3}}\end{array}\right.$，解得a²=5，b²=$\frac{5}{3}$，
∴椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{5}+\frac{{y}^{2}}{\frac{5}{3}}=1$．
（2）将y=k（x+1）代入$\frac{{x}^{2}}{5}+\frac{{y}^{2}}{\frac{5}{3}}=1$，得（1+3k²）x²+6k²x+3k²-5=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=-$\frac{6{k}^{2}}{3{k}^{2}+1}$，x₁x₂=$\frac{3{k}^{2}-5}{3{k}^{2}+1}$．
∴y₁y₂=k²（x₁+1）（x₂+1）=k²x₁x₂+k²（x₁+x₂）+k²，
∵$\overrightarrow{MA}$=（x₁+$\frac{7}{3}$，y₁），$\overrightarrow{MB}$=（x₂+$\frac{7}{3}$，y₂），
∴$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$=（x₁+$\frac{7}{3}$）（x₂+$\frac{7}{3}$）+y₁y₂=（1+k²）x₁x₂+（$\frac{7}{3}$+k²）（x₁+x₂）+$\frac{49}{9}$+k²
=（1+k${\;}^{{\;}^{2}}$）•$\frac{3{k}^{2}-5}{3{k}^{2}+1}$-（$\frac{7}{3}$+k²）•$\frac{6{k}^{2}}{3{k}^{2}+1}$+$\frac{49}{9}$+k²
=$\frac{-3{k}^{4}-16{k}^{2}-5}{3{k}^{2}+1}$+$\frac{49}{9}$+k²
=$\frac{4}{9}$．

点评 本题考查了椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系，属于中档题．