Question

6．在复平面内，△AOB中，O是原点，点A，B对应的复数分别为z₁，z₂，且z₁，z₂满足以下条件：
（1）|z₁-3|=1，
（2）z₂=（-1+i）z₁；求△AOB面积的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）利用已知条件判断复数z₁的轨迹；（2）利用复数的乘法的几何意义，求出∠AOB，表示出三角形的面积，然后求解最值即可．

解答 解：在复平面内，△AOB中，O是原点，点A，B对应的复数分别为z₁，z₂，且z₁，z₂满足以下条件：
（1）|z₁-3|=1，可得复数z₁是复平面，以（3，0）为圆心，以1为半径的圆．|z₁|的最小值为：2，最大值为：4．
（2）z₂=（-1+i）z₁=$\sqrt{2}$（cos$\frac{3π}{4}$+isin$\frac{3π}{4}$）z₁，可知$\overrightarrow{O{Z}_{1}}$与$\overrightarrow{O{Z}_{2}}$的夹角为：$\frac{3π}{4}$，即：∠AOB=$\frac{3π}{4}$．
△AOB面积为：$\frac{1}{2}$|z₁||z₂|sin$\frac{3π}{4}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$|z₁|²×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{1}{2}$|z₁|²∈[2，8]
可得△AOB面积的最大值和最小值分别为：8，2．

点评 本题考查复数的几何意义，轨迹方程的应用，考查转化思想以及计算能力．