Question

3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=3，1+$\frac{tanA}{tanB}$=$\frac{2c}{b}$，则b+c的最大值为（　　）

• A． 3
• B． 6
• C． 9
• D． 36

Answer 1

分析 利用和差公式、正弦定理可得A，再利用和差公式、三角函数的单调性值域即可得出．

解答 解：∵1+$\frac{tanA}{tanB}$=$\frac{2c}{b}$，∴1+$\frac{sinAcosB}{cosAsinB}$=$\frac{sin（A+B）}{cosAsinB}$=$\frac{sinC}{cosAsinB}$=$\frac{c}{bcosA}$=$\frac{2c}{b}$，可得cosA=$\frac{1}{2}$，A∈（0，π），∴$A=\frac{π}{3}$．
∴$\frac{a}{sinA}$=2$\sqrt{3}$=$\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$，
∴b+c=$2\sqrt{3}$（sinB+sinC）
=$2\sqrt{3}$（sinB+sin$（\frac{2π}{3}-B）$）
=6sin$（B+\frac{π}{6}）$，
B+$\frac{π}{6}$∈$（\frac{π}{6}，\frac{5π}{6}）$，
∴b+c≤6，当且仅当B=$\frac{π}{3}$=C时取等号．
故选；B．

点评 本题考查了和差公式、正弦定理、三角函数的单调性值域，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．