Question

已知

a

=（sinx，1），

b

=（cosx，

1

2

），f（x）=

a

•（

a

-k

b

）
（1）求函数f（x）的值域；
（2）若函数f（x）的最大值为

5- 3

2

，则函数f（x）的图象能否由函数g（x）=2

a

•

b

的图象经过平移得到？若能，则写出一个平移向量

m

；若不能，则说明理由．

Answer 1

考点：平面向量的综合题,三角函数中的恒等变换应用

专题：平面向量及应用

分析：（1）利用向量的数量积公式，结合二倍角、辅助角公式，即可求函数f（x）的值域；
（2）利用（1）的结论，建立方程，求出k的值，从而可得函数f（x），g（x）的解析式，即可得到结论．

解答： 解：（1）∵f（x）=

a

•（

a

-k

b

）=

a

²-k

a

•

b

=sin²x+1-k（sinxcosx+

1

2

）=

1

2

（1-cos2x）+1-

1

2

k（sin2x+1）
=

1

2

（3-k）-

1

2

（ksin2x+cos2x）=

1

2

（3-k）-

1

2

k2+1

sin（2x+θ）．
故所求函数f（x）的值域为[

1

2

（3-k）-

1

2

k2+1

，

1

2

（3-k）+

1

2

k2+1

]．
（2）∵函数f（x）的最大值为

5- 3

2

，
∴

1

2

（3-k）+

1

2

k2+1

=

5- 3

2

，解得k=

3

．
∴f（x）=

1

2

（3-

3

）-sin（2x+

π

6

）=

1

2

（3-

3

）+sin（2x+

7

6

π）．
又∵g（x）=2

a

•

b

=2sinxcosx+1=sin 2x+1，
∴函数g（x）=2

a

•

b

的图象按向量

m

=（-

7

12

π，1-

3

2

）平移后便得到函数f（x）的图象．

点评：本题考查向量是数量积公式，考查二倍角、辅助角公式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．