Question

18．已知等比数列{a_n}满足，a₁=1，2a₃=a₂
（1）求数列{a_n}的通项公式
（2）若等差数列{b_n}的前n项和为S_n，满足b₁=2，S₃=b₂+6，求数列{b_n}的通项公式
（3）在（2）的条件下，求数列{a_n•b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）公比为$\frac{1}{2}$，代入通项公式得出；
（2）根据S₃=3b₂求出b₂得出公差，再代入通项公式得出；
（3）使用错位相减法求出T_n．

解答 解：（1）设等比数列{a_n}的公比为q，则q=$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$=$\frac{1}{2}$．
∴数列{a_n}的通项公式为：a_n=1•（$\frac{1}{2}$）^n-1=$\frac{1}{{2}^{n-1}}$．
（2）设数列{b_n}的公差为d，∵S₃=$\frac{{b}_{1}+{b}_{3}}{2}×3$=3b₂=b₂+6，
∴b₂=3．∴d=b₂-b₁=1．
∴数列{b_n}的通项公式为b_n=2+（n-1）×1=n+1．
（3）a_nb_n=$\frac{n+1}{{2}^{n-1}}$．
∴T_n=2+3×$\frac{1}{2}$+4×$\frac{1}{{2}^{2}}$+5×$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+（n+1）×$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，①
∴$\frac{1}{2}{T}_{n}$=2×$\frac{1}{2}$+3×$\frac{1}{{2}^{2}}$+4×$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+（n+1）×$\frac{1}{{2}^{n}}$，②
①-②得：$\frac{1}{2}{T}_{n}$=2+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$-（n+1）×$\frac{1}{{2}^{n}}$=2+$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{2}}$-（n+1）×$\frac{1}{{2}^{n}}$
=3-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$-$\frac{n+1}{{2}^{n}}$=3-$\frac{n+3}{{2}^{n}}$．
∴T_n=6-$\frac{n+3}{{2}^{n-1}}$．
∴T_n=6-$\frac{n+3}{{2}^{n-1}}$．

点评 本题考查了等差数列，等比数列的性质，错位相减法数列求和，属于中档题．