Question

15．设函数f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f（x+1）=f（x-1），已知当x∈[0，1]时，f（x）=（${\frac{1}{2}}$）^1-x，则
①2是函数f（x）的一个周期；
②函数f（x）在（1，2）上是减函数，在（2，3）上是增函数；
③函数f（x）的最大值是1，最小值是0；
④x=1是函数f（x）的一个对称轴；
其中所有正确命题的序号是①②④．

Answer 1

分析 根据已知，分析出函数的周期性，单调性，最值，对称性，逐一分析四个命题的真假，可得答案．

解答 解：∵f（x+1）=f（x-1），
∴f（x+2）=f[（x+1）+1]=f[（x+1）-1]=f（x），
∴①2是函数f（x）的一个周期，正确；
∵当x∈[0，1]时，f（x）=（${\frac{1}{2}}$）^1-x为增函数，
故x∈[-1，0]时，f（x）为减函数，
结合①中函数的周期性，可得：
②函数f（x）在（1，2）上是减函数，在（2，3）上是增函数，正确；
③当x为奇数时，函数f（x）的最大值是1，当x为偶数时，函数的最小值是$\frac{1}{2}$，错误；
④x=1是函数f（x）的一个对称轴，正确；
故答案为：①②④

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了函数的周期性，单调性，最值，对称性，难度中档．