Question

19．在△OAB的边OA，OB上分别有一点P，Q，已知OP：PA=1：2，OQ：QB=3：2，连接AQ，BP，设它们交于点R，若$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{b}$．
（1）用$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$表示$\overrightarrow{OR}$；
（2）若|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow{b}$|=2，$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$夹角为60°，过R作RH⊥AB交AB于点H，用$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$表示$\overrightarrow{OH}$．

Answer 1

分析 （1）由题意知$\overrightarrow{OP}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OQ}$=$\frac{3}{5}$$\overrightarrow{b}$，从而由A，R，Q三点共线可得$\overrightarrow{OR}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{AR}$=$\overrightarrow{a}$+m（$\frac{3}{5}$$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$）=（1-m）$\overrightarrow{a}$+$\frac{3}{5}$m$\overrightarrow{b}$，同理化简可得$\overrightarrow{OR}$=$\frac{n}{3}$$\overrightarrow{a}$+（1-n）$\overrightarrow{b}$，从而解得；
（2）由A，H，B三点共线可得$\overrightarrow{OH}$=λ$\overrightarrow{a}$+（1-λ）$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{RH}$=（λ-$\frac{1}{6}$）$\overrightarrow{a}$+（$\frac{1}{2}$-λ）$\overrightarrow{b}$，结合$\overrightarrow{RH}$•$\overrightarrow{AB}$=0解得即可．

解答 解：（1）$\overrightarrow{OP}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OA}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OQ}$=$\frac{3}{5}$$\overrightarrow{b}$，
由A，R，Q三点共线，可设$\overrightarrow{AR}$=m$\overrightarrow{AQ}$．
故$\overrightarrow{OR}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{AR}$=$\overrightarrow{a}$+m$\overrightarrow{AQ}$=$\overrightarrow{a}$+m（$\overrightarrow{OQ}$-$\overrightarrow{OA}$）
=$\overrightarrow{a}$+m（$\frac{3}{5}$$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$）=（1-m）$\overrightarrow{a}$+$\frac{3}{5}$m$\overrightarrow{b}$．
同理，由B，R，P三点共线，可设$\overrightarrow{BR}$=n$\overrightarrow{BP}$．
故$\overrightarrow{OR}$=$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{BR}$=$\overrightarrow{b}$+n（$\overrightarrow{OP}$-$\overrightarrow{OB}$）=$\frac{n}{3}$$\overrightarrow{a}$+（1-n）$\overrightarrow{b}$．
由于$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$不共线，则有$\left\{\begin{array}{l}1-m=\frac{n}{3}\\ \frac{3}{5}m=1-n\end{array}$解得$\left\{\begin{array}{l}m=\frac{5}{6}\\ n=\frac{1}{2}.\end{array}$
∴$\overrightarrow{OR}$=$\frac{1}{6}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{b}$．
（2）由A，H，B三点共线，可设$\overrightarrow{BH}$=λ$\overrightarrow{BA}$，
则$\overrightarrow{OH}$=λ$\overrightarrow{a}$+（1-λ）$\overrightarrow{b}$，
$\overrightarrow{RH}$=$\overrightarrow{OH}$-$\overrightarrow{OR}$=（λ-$\frac{1}{6}$）$\overrightarrow{a}$+（$\frac{1}{2}$-λ）$\overrightarrow{b}$．
又$\overrightarrow{RH}$⊥$\overrightarrow{AB}$，∴$\overrightarrow{RH}$•$\overrightarrow{AB}$=0．
∴[（λ-$\frac{1}{6}$）$\overrightarrow{a}$+（$\frac{1}{2}$-λ）$\overrightarrow{b}$]•（$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$）=0．
又∵$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow{b}$|cos 60°=1，
∴λ=$\frac{1}{2}$，
∴$\overrightarrow{OH}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{b}$．

点评 本题考查了平面向量数量积的运算及线性运算的应用，