Question

11．在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边．若（a+b-c）（a+b+c）=ab，c=$\sqrt{3}$，当ab取得最大值时，S_△ABC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$．

Answer 1

分析 由已知及基本不等式可求ab≤1，当且仅当a=b时取等号，当ab取得最大值时，由余弦定理可求cosC，利用同角三角函数基本关系式可求sinC，进而利用三角形面积公式即可计算得解．

解答 解：∵（a+b-c）（a+b+c）=ab，c=$\sqrt{3}$，
∴（a+b）²-c²=ab，可得：a²+b²=c²-ab=3-ab，
∵a²+b²≥2ab，当且仅当a=b时取等号，
∴3-ab≥2ab，即：ab≤1，当且仅当a=b时取等号，
∴当ab取得最大值时，a=b=1，可得：cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=-$\frac{1}{2}$，sinC=$\sqrt{1-co{s}^{2}C}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
可得：S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}×1×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题主要考查了基本不等式，余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．