题目内容
设f（x）是定义在[a，b]上的函数，用分点T：a=x0＜x1＜…＜xi-1＜xi＜…xn=b将区间[a，b]任意划分成n个小区间，如果存在一个常数M＞0，使得和| n |  | i=1 |
（1）函数f（x）=x2在[0，1]上是否为有界变差函数？请说明理由；
（2）设函数f（x）是[a，b]上的单调递减函数，证明：f（x）为[a，b]上的有界变差函数；
（3）若定义在[a，b]上的函数f（x）满足：存在常数k，使得对于任意的x1、x2∈[a，b]时，|f（x1）-f（x2）|≤k•|x1-x2|．证明：f（x）为[a，b]上的有界变差函数．
分析：（1）利用函数在[0，1]是增函数，去掉绝对值，将连和符号用函数值的和表示出，求出值为，取M大于等于此值，满足有界变差函数的定义
（2）利用函数为减函数，将连和符号中的绝对值符号去掉，将连和用函数值的差表示出，求出连和的值，将M取此值，满足有界变差函数的定义．
（3）利用已知不等式，将函数值差的连和表示成自变量差的连和，去掉绝对值，将连和写成自变量差的和形式，求出连和的值，找到M，满足有界变差函数的定义．
（2）利用函数为减函数，将连和符号中的绝对值符号去掉，将连和用函数值的差表示出，求出连和的值，将M取此值，满足有界变差函数的定义．
（3）利用已知不等式，将函数值差的连和表示成自变量差的连和，去掉绝对值，将连和写成自变量差的和形式，求出连和的值，找到M，满足有界变差函数的定义．
解答：解：（1）∵f（x）=x2在[0，1]上是增函数∴对任意划分Tf（xn）＞f（xn-1）
|f（xi）-f（xi-1）|=f（x1）-f（x0）+…+f（xn）-f（xn-1）=f（1）-f（0）=1
取常数M≥1，则和式
|f(xi)-f(xi-1)|≤M（i=1，2，3…n）恒成立
所以函数f（x）在[0，1]是有界变差函数
（2）∵函数f（x）是[a，b]上的单调递减函数
任意的划分T，Ta=x0＜x1＜…＜xi-1＜xi＜…＜xn=b
∴
|f(xi)-f(xi-1=f( )|x0)-f(x1)+f(x1)-f(x2)+..+f(xn-1)+f（xn）
∴一定存在一个常数M＞0，使f（a）-f（b）≤M
故f（x）为[a，b]上有界变差函数
∵|f（x1）-f（x2）|≤k|x1-x2|
∴对任意的划分T，a=x0＜x1＜…＜xi-1＜xi＜…＜xn=b
|f(xi)-f(xi-1)|≤k|x1-x2|=k
|x1-x2|=k（b-a）
取常数M=k（b-a）
由有界变差函数定义知f（x）为有界变差函数．
|f（xi）-f（xi-1）|=f（x1）-f（x0）+…+f（xn）-f（xn-1）=f（1）-f（0）=1
取常数M≥1，则和式
| n |
|
| i=1 |
所以函数f（x）在[0，1]是有界变差函数
（2）∵函数f（x）是[a，b]上的单调递减函数
任意的划分T，Ta=x0＜x1＜…＜xi-1＜xi＜…＜xn=b
∴
| n |
|
| i=1 |
∴一定存在一个常数M＞0，使f（a）-f（b）≤M
故f（x）为[a，b]上有界变差函数
∵|f（x1）-f（x2）|≤k|x1-x2|
∴对任意的划分T，a=x0＜x1＜…＜xi-1＜xi＜…＜xn=b
| n |
|
| i=1 |
| n |
|
| i=1 |
取常数M=k（b-a）
由有界变差函数定义知f（x）为有界变差函数．
点评：本题考查理解题中的新定义、判断一个函数是否是有界变差函数，关键是求出函数差的连和，找出M．
练习册系列答案
相关题目
设f（x）是定义在R上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间（-2，1]上的图象，则f（2013）+f（2014）=（ ）