Question

设圆O：x²+y²=4，O为坐标原点
（I）若直线l过点P（1，2），且圆心O到直线l的距离等于1，求直线l的方程；
（II）已知定点N（4，0），若M是圆O上的一个动点，点P满足

OP

=

1

2

(

OM

+

ON

)，求动点P的轨迹方程．

Answer 1

分析：（I）考虑两种情况：（1）斜率不存在即所求直线与y轴平行时，容易直线的方程；（2）斜率存在时，设出直线的斜截式，然后利用点到直线的距离公式列出原点到直线l的距离的方程，求出斜率k即可得到方程．
（II）设点P（x，y），根据点P和N的坐标，进而可得

OP

和

OM

，

ON

，再代入

OP

=

1

2

(

OM

+

ON

)，答案可得．

解答：解：（I）（1）当过点P（1，2）的直线l与x轴垂直时，
此时圆心O到直线l的距离等于1，
所以x=1为所求直线方程．
（2）当过点P（1，2）且与x轴不垂直时，可设所求直线方程为y-2=k（x-1），
即：kx-y-k+2=0，由题意有

|-k+2|

k2+1

=1，解得k=

3

4

，
故所求的直线方程为y-2=

3

4

(x-1)，即3x-4y+5=0．
综上，所求直线方程为x=1或3x-4y+5=0．
（II）：设点P（x，y），M（x₀，y₀），则

OP

=（x，y），

OM

=(x0，y 0)
因为N（4，0）
所以

ON

=（4，0）
因为

OP

=

1

2

(

OM

+

ON

)，
所以（x，y）=

1

2

[（4，0）+（x₀，y₀）]
即

x= 1 2 x0+2 y= 1 2 y0

，即

x0=2x-4 y0=2y

又x₀²+y₀²=4，∴（2x-4）²+4y²=4，
即：（x-2）²+y²=1．
故动点P的轨迹方程：（x-2）²+y²=1．

点评：本题主要考查了点到直线的距离公式、利用向量的关系求点的轨迹方程．此题为中档题，学生做题时容易少一种斜率不存在的情况，要求学生考虑问题要全面．应用分类讨论的数学思想解决数学问题．