Question

设圆O：x²+y²=3，直线l：x+3y-6=0，，点P（x₀，y₀）∈l若在圆O上存在点Q，使得∠OPQ=60°，则x₀的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：圆O外有一点P，圆上有一动点Q，∠OPQ在PQ与圆相切时取得最大值．如果OP变长，那么∠OPQ可以获得的最大值将变小．因为sin∠OPQ=

Q0

PO

，QO为定值，即半径，PO变大，则sin∠OPQ变小，由于∠OPQ∈（0，

π

2

），所以∠OPQ也随之变小．可以得知，当∠OPQ=60，且PQ与圆相切时，PO=2，而当PO＞2时，Q在圆上任意移动，∠OPQ＜60恒成立．因此，P的取值范围就是PO≤2，即满足PO≤2，就能保证一定存在点Q，使得∠OPQ=60°，否则，这样的点Q是不存在的．

解答：解：由分析可得：PO²=x₀²+y₀²
又因为P在直线L上，所以x₀=-（3y₀-6）
故10y₀²-36y₀+3≤4
解得

8

5

≤y0≤20≤x0≤

6

5

即x₀的取值范围是[0，

6

5

]，
故答案为[0，

6

5

]

点评：解题的关键是结合图形，利用几何知识，判断出PO≤2，从而得到不等式求出参数的取值范围．