Question

（2010•广东模拟）已知椭圆C1：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的上顶点为A（0，1），过C₁的焦点且垂直长轴的弦长轴的弦长为1．
（1）求椭圆C₁的方程；
（2）设圆O：x2+y2=

4

5

，过该圆上任意一点作圆的切线l，试证明l和椭圆C₁恒有两个交点A，B，且有

OA

•

OB

=0；
（3）在（2）的条件下求弦AB长度的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据点A的坐标求得b，根据过C₁的焦点且垂直长轴的弦长轴的弦长为1．求得

2b2

a

=1，进而求得a，则椭圆的方程可得．
（2）根据椭圆方程和圆的半径小于1判断圆O必在椭圆内部设切点坐标为（x₀，y₀），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），进而可表示出切线方程，与椭圆方程联立消去y，根据韦达定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，进而根据y₁和y₂的表达式，求得y₁y₂的表达式，进而代入x₁x₂+y₁y₂求得结果为0，进而判断出

OA

•

OB

=0．
（3）设∠A=θ，则∠B=90°-θ，可知OD的值，进而表示出BD和AD，进而表示出AB，确定OA的范围，sinθ=

OD

OA

确定sinθ的范围，推断出tanθ的范围，进而确定AB的范围．

解答：解：依题意有

b=1 2b2 a =1

⇒

a=2 b=1

．
（1）C1：

x2

4

+y2=1．

（2）由

x2

4

+y2=1，且半径r=

2 5

5

＜1，所以圆O必在椭圆内部，
所以过该圆上任意一点作切线必与椭圆恒有两个交点．
设切点坐标为（x₀，y₀），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则切线方程为x0x+y0y=

4

5

（1），
又由（1）知C1：

x2

4

+y2=1（2）
联立（1）（2）得：(

y

2 0

+4

x

2 0

)

x

2

-

32

5

x0x-4

y

2 0

+

64

25

=0，x1x2=

64 25 -4 y 2 0

y 2 0 +4 x 2 0

，x1+x2=

32 5 x 2 0

y 2 0 +4 x 2 0

，
又y1=

4 5 -x0 x   1

y0

，y2=

4 5 -x0 x   2

y0

，y1y2=

16 25 -4 x 2 0

y 2 0 +4 x 2 0

，
所以，欲证

OA

•

OB

=0，即证：x₁x₂+y₁y₂=0，
因为：x1x2+y1y2=

64 25 -4 y 2 0

y 2 0 +4 x 2 0

+

16 25 -4 x 2 0

y 2 0 +4 x 2 0

=

80 25 -4( x 2 0 + y 2 0 )

y 2 0 +4 x 2 0

=

80 25 -4× 4 5

y 2 0 +4 x 2 0

=0
所以，

OA

•

OB

=0命题成立．

（3）设∠A=θ，则∠B=90°-θ，OD=r=

2 5

5

，BD=

OD

tan(900-θ)

，AD=

OD

tanθ

，
则AB=

OD

tan(900-θ)

+

OD

tanθ

=OD•(tanθ+

1

tanθ

)=

2 5

5

，
所以OA∈[1，2]，OD=

2 5

5

，所以sinθ=

OD

OA

∈[

5

5

，

2 5

5

]，又θ为锐角，
所以tanθ∈[

1

2

，2]，则有tanθ+

1

tanθ

∈[2，

5

2

]，所以AB∈[

4 5

5

，

5

]．

点评：本题主要考查了椭圆的应用．考查了学生综合分析问题和基本的运算能力．