题目内容

（1）如图，设圆O：x2+y2=a2的两条互相垂直的直径为AB、CD，E在弧BD上，AE交CD于K，CE交AB于L，求证：(
EK
AK
)2+(
EL
CL
)2为定值
（2）将椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）与x2+y2=a2相类比，请写出与（1）类似的命题，并证明你的结论．
（3）如图，若AB、CD是过椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）中心的两条直线，且直线AB、CD的斜率积kAB•kCD=-
b2
a2
，点E是椭圆上异于A、C的任意一点，AE交直线CD于K，CE交直线AB于L，求证：(
EK
AK
)2+(
EL
CL
)2为定值．
分析：（1）如图所示，过点E作EF⊥AB，垂足为F点．由于CD⊥AB，可得EF∥CD，利用平行线的性质可得
EK
AK
=
FO
OA
，
EL
CL
=
EF
CO
，再利用EF2+FO2=OE2=a2，即可证明为定值．
（2）命题：如图，设椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），椭圆的长轴、短轴分别为AB、CD，E在椭圆的BD部分上，AE交CD于K，CE交AB于L，求证：(
EK
AK
)2+(
EL
CL
)2为定值．与（1）类比：再利用点E满足椭圆的方程即可证明为定值．
（3）如图所示，过点E分别作EF∥CD交AB与点F，EM∥AB交直线CD于点M．
可得
EK
KA
=
FO
AO
，
EL
CL
=
MO
CO
．设A（x1，y1），C（x2，y2），D（-x2，-y2），B（-x1，-y1）．E（x0，y0）．
则
x
2
0
a2
+
y
2
0
b2
=1．设直线AB的方程为y=kx（k≠0），则直线CD的方程为y=-
b2
a2k
x．直线EF的方程为y-y0=-
b2
a2k
(x-x0)，直线EM的方程为y-y0=k（x-x0）．
联立方程可解得xF．xM．
x
2
1
，
x
2
2
．可得(
EK
AK
)2=(
FO
AO
)2=
x
2
F
+
y
2
F
x12+
y
2
1
=
x
2
F
x
2
1
．同理(
EL
CL
)2=
x
2
M
x
2
2
．
于是(
EK
AK
)2+(
EL
CL
)2=
x
2
F
x
2
1
+
x
2
M
x
2
2
=
x
2
F
x
2
2
+
x
2
M
x
2
1
x
2
1
x
2
2
，代入计算即可．
解答：解：（1）如图所示，过点E作EF⊥AB，垂足为F点，
∵CD⊥AB，∴EF∥CD，
∴
EK
AK
=
FO
OA
，
EL
CL
=
EF
CO
，
又EF2+FO2=OE2=a2，
∴(
EK
AK
)2+(
EL
CL
)2=(
FO
OA
)2+(
EF
CO
)2=
FO2+EF2
a2
=
a2
a2
=1．为定值．
（2）如图，设椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），椭圆的长轴、短轴分别为AB、CD，E在椭圆的BD部分上，AE交CD于K，CE交AB于L，求证：(
EK
AK
)2+(
EL
CL
)2为定值．
证明：过点E作EF⊥AB，垂足为F点，
∵CD⊥AB，∴EF∥CD，
∴
EK
AK
=
FO
OA
，
EL
CL
=
EF
CO
，
∴(
EK
AK
)2+(
EL
CL
)2=(
FO
OA
)2+(
EF
CO
)2=
FO2
a2
+
EF2
b2
=1．为定值．
（3）如图所示，
过点E分别作EF∥CD交AB与点F，EM∥AB交直线CD于点M．
∴
EK
KA
=
FO
AO
，
EL
CL
=
MO
CO
．
设A（x1，y1），C（x2，y2），D（-x2，-y2），B（-x1，-y1）．E（x0，y0）．
则
x
2
0
a2
+
y
2
0
b2
=1．
设直线AB的方程为y=kx（k≠0），则直线CD的方程为y=-
b2
a2k
x．
直线EF的方程为y-y0=-
b2
a2k
(x-x0)，直线EM的方程为y-y0=k（x-x0）．
联立
y=kx
y-y0=-
b2
a2k
(x-x0)
解得xF=
a2ky0+b2x0
a2k2+b2
．
联立
y=-
b2
a2k
x
y-y0=k(x-x0)
，解得xM=
a2k(kx0-y0)
a2k2+b2
．
联立
y=kx
b2x2+a2y2=a2b2
解得
x
2
1
=
a2b2
a2k2+b2
．
联立
y=-
b2
a2k
x
b2x2+a2y2=a2b2
，解得
x
2
2
=
a4k2
a2k2+b2
．
∴(
EK
AK
)2=(
FO
AO
)2=
x
2
F
+
y
2
F
x12+
y
2
1
=
x
2
F
x
2
1
．
同理(
EL
CL
)2=
x
2
M
x
2
2
．
∴(
EK
AK
)2+(
EL
CL
)2=
x
2
F
x
2
1
+
x
2
M
x
2
2
=
x
2
F
x
2
2
+
x
2
M
x
2
1
x
2
1
x
2
2
=
(
a2ky0+b2x0
a2k2+b2
)2•
a4k2
a2k2+b2
+(
a2k(kx0-y0)
a2k2+b2
)2•
a2b2
a2k2+ b2
a2b2
a2k2+b2
•
a4k2
a2k2+b2
=
x
2
0
a2
+
y
2
0
b2
=1．为定值．
点评：熟练掌握椭圆的标准方程及其性质、平行线分线段成比例定理、直线与直线相交问题、直线与椭圆相交问题、问题转化方法等是解题的关键．本题同时考查了较强的计算能力、类比推理能力．
练习册系列答案
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px1
），B（x2，
px2
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（1）求p的取值范围；
（2）求S关于p的函数f（p）的表达式及S的最大值；
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CA
与
CB
的夹角．
（2012•韶关二模）在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中c=2，且
cosA
cosB
=
b
a
=
3
1
．
（1）求证：△ABC是直角三角形；
（2）如图，设圆O过A，B，C三点，点P位于劣弧
AC
上，求△PAC面积最大值．

在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中c=2，且数学公式．
（1）求证：△ABC是直角三角形；
（2）如图，设圆O过A，B，C三点，点P位于劣弧数学公式上，求△PAC面积最大值．
在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中c=2，且．
（1）求证：△ABC是直角三角形；
（2）如图，设圆O过A，B，C三点，点P位于劣弧上，求△PAC面积最大值．

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