Question

1．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$，F₁，F₂分别为椭圆的左右焦点，A，B分别为椭圆的左右顶点，点P为椭圆上异于A，B的动点．
（1）求证：直线PA、PB的斜率之积为定值；
（2）设D（1，0），求|PD|的最小值．

Answer 1

分析 （1）求得椭圆的a，可得A，B的坐标，设P（m，n），运用椭圆方程和斜率公式，化简整理，即可得到定值；
（2）设出P的坐标，运用椭圆方程和两点的距离公式，结合二次函数的最值求法，即可得到最小值．

解答 解：（1）证明：椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$的a=2$\sqrt{2}$，
可得A（-2$\sqrt{2}$，0），B（2$\sqrt{2}$，0），设P（m，n），
即有$\frac{{m}^{2}}{8}$+$\frac{{n}^{2}}{4}$=1，n²=4（1-$\frac{{m}^{2}}{8}$），
k_PA•k_PB=$\frac{n}{m+2\sqrt{2}}$•$\frac{n}{m-2\sqrt{2}}$=$\frac{{n}^{2}}{{m}^{2}-8}$
=$\frac{8-{m}^{2}}{2}$•$\frac{1}{{m}^{2}-8}$=-$\frac{1}{2}$，
即有直线PA、PB的斜率之积为定值-$\frac{1}{2}$；
（2）设P（m，n），即有$\frac{{m}^{2}}{8}$+$\frac{{n}^{2}}{4}$=1，n²=4（1-$\frac{{m}^{2}}{8}$），
则|PD|=$\sqrt{（m-1）^{2}+{n}^{2}}$=$\sqrt{{m}^{2}-2m+1+4-\frac{1}{2}{m}^{2}}$
=$\sqrt{\frac{1}{2}{m}^{2}-2m+5}$=$\sqrt{\frac{1}{2}（m-2）^{2}+3}$，（-2$\sqrt{2}$＜m＜2$\sqrt{2}$），
当m=2时，|PD|取得最小值，且为$\sqrt{3}$．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，考查直线的斜率公式的运用，以及两点的距离公式，同时考查二次函数的最值的求法，属于中档题．