Question

6．已知圆C的方程为x²+y²=4；
（1）设过点P（1，1）的直线1被圆C截得的弦长等于2$\sqrt{3}$，求直线1的方程；
（2）过点M（1，0）的直线与圆C交于A，B两点（A在x轴上方），问在x轴正半轴上是否存在点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由圆的方程求出圆心的坐标及半径，由直线被圆截得的弦长，利用垂径定理得到弦的一半，弦心距及圆的半径构成直角三角形，再根据勾股定理求出弦心距，一下分两种情况考虑：若此弦所在直线方程的斜率不存在，显然x=1满足题意；若斜率存在，设出斜率为k，由直线过P点，由P的坐标及设出的k表示出直线的方程，利用点到直线的距离公式表示出圆心到所设直线的距离d，让d等于求出的弦心距列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，进而得到所求直线的方程．
（2）MN平分∠ANB，k_AN=-k_NB，利用韦达定理，可得结论．

解答 解：（1）由圆的方程，得到圆心坐标为（0，0），半径r=2，
∵直线被圆截得的弦长为2$\sqrt{3}$，
∴弦心距为1
若此弦所在的直线方程斜率不存在时，显然x=1足题意；
若此弦所在的直线方程斜率存在，设斜率为k，
∴所求直线的方程为y-1=k（x-1）即kx-y-k+1=0
圆心到所设直线的距离d=$\frac{|-k+1|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，得：k=0
此时所求方程为y-1=0
综上，此弦所在直线的方程为x=1或y-1=0．
（2）直线斜率不存在时，x轴正半轴上任意一点都满足；
斜率存在时，设方程为x=my+1，代入x²+y²=4可得（1+m²）y²+2my-3=0，
设N（t，0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y₁+y₂=-$\frac{2m}{1+{m}^{2}}$，y₁y₂=-$\frac{3}{1+{m}^{2}}$
∵MN平分∠ANB，
∴k_AN=-k_NB，
∴y₂（x₁-t）+y₁（x₂-t）=0，
∴y₂（my₁+2-t）+y₁（my₂+2-t）=0，
∴2my₁y₂+（2-t）（y₁+y₂）=0，
∴2m•（-$\frac{3}{1+{m}^{2}}$）+（2-t）×（-$\frac{2m}{1+{m}^{2}}$）=0，
∴2m（t-5）=0，
∴t=5，即N（5，0），MN平分∠ANB．

点评 此题考查了直线与圆相交的性质，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，涉及的知识有垂径定理，勾股定理，点到直线的距离公式，以及直线的斜截式方程，利用了分类讨论的思想，当直线与圆相交时，常常由弦心距，弦的一半及圆的半径构造直角三角形，利用勾股定理来解决问题．