以下四个关于圆锥曲线的命题中①设A.B为两个定点.k为非零常数.$|\overrightarrow{PA}|+|\overrightarrow{PB}|=k$.则动点P的轨迹为椭圆,②设定圆C上一定点A作圆的动弦AB.O为坐标原点.若$\overrightarrow{OP}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})$.则动点P� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

6．以下四个关于圆锥曲线的命题中
①设A，B为两个定点，k为非零常数，$|\overrightarrow{PA}|+|\overrightarrow{PB}|=k$，则动点P的轨迹为椭圆；
②设定圆C上一定点A作圆的动弦AB，O为坐标原点，若$\overrightarrow{OP}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}）$，则动点P的轨迹为圆；
③方程ln²x-lnx-2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；
④双曲线$\frac{y^2}{9}-\frac{x^2}{25}=1$与椭圆$\frac{x^2}{35}+{y^2}=1$有相同的焦点．
其中真命题的序号为②③（写出所有真命题的序号）

分析根据题意，依次分析4个命题，对于①、由椭圆的定义分析可得①错误；对于②、分析可得P是AB中点，结合垂径定理分析可得②正确；对于③、求出方程ln²x-lnx-2=0的两根，分析可得两根的大小可得③正确；对于④、分析椭圆、双曲线的焦点位置即可得④不正确，综合即可得答案．

解答解：根据题意，依次分析4个命题：
对于①、若动点P的轨迹为椭圆则需满足k＞|AB|，故①错误；
对于②、若$\overrightarrow{OP}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}）$，则P是AB中点，即∠CPA=90°，所以P的轨迹是以CA为直径的圆，故②正确；
对于③、方程ln²x-lnx-2=0的两根分别为x=e²或$\frac{1}{e}$，而$\frac{1}{e}＜1，{e^2}＞1$，故③正确；
对于④、双曲线焦点在y轴上，椭圆的焦点在x轴上；故④不正确
故答案为：②③．

点评本题考查常见圆锥曲线的定义以及简单性质，关键是熟练掌握椭圆、双曲线、抛物线的地定义．