Question

10．已知函数$y=\sqrt{x+2}•\sqrt{5-x}$的定义域为集合Q，集合P={x|a+1≤x≤2a+3}．
（1）若a=3，求（∁_RP）∩Q；
（2）若P∪Q=Q，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）将a=3代入求出P，令函数解析式有意义，求出Q，结合集合的交集，补集运算的定理，可得（∁_RP）∩Q；
（2）若P∪Q=Q，则P⊆Q，分P=∅和P≠∅两种情况，分别求出满足条件的实数a的取值范围，综合讨论结果，可得答案．

解答 解：（1）由$\left\{\begin{array}{l}x+2≥0\\ 5-x≤0\end{array}\right.$得：Q=[-2，5]．
若a=3，则集合P={x|a+1≤x≤2a+3}=[4，9]．
∴∁_RP=（-∞，4）∪（9，+∞），
∴（∁_RP）∩Q=[-2，4）
（2）P∪Q=Q?P⊆Q，
当P=∅时，即2a+3＜a+1，得a＜-2，此时有P=∅⊆Q；…．（7分）
当P≠∅时，由P⊆Q得：$\left\{{\begin{array}{l}{a+1≥-2}\\{2a+3≤5}\\{a+1≤2a+3}\end{array}}\right.$，
解得-2≤a≤1…（10分）
综上有实数a的取值范围是a≤1…（12分）

点评 本题考查的知识点是集合的交集，并集，补集运算，难度不大，属于基础题．