Question

18．已知|$\overrightarrow{a}$|=4，|$\overrightarrow{b}$|=3，且$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为120°
（1）若$\overrightarrow{a}$⊥（$\overrightarrow{a}$+k$\overrightarrow{b}$），求k的值；
（2）求|$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$|的值．

Answer 1

分析 （1）令$\overrightarrow{a}$•（$\overrightarrow{a}$+k$\overrightarrow{b}$）=0解出k；
（2）求出|$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$|²，然后开方即可．

解答 解：（1）$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=4×3×cos120°=-6．
∵$\overrightarrow{a}$⊥（$\overrightarrow{a}$+k$\overrightarrow{b}$），
∴$\overrightarrow{a}$•（$\overrightarrow{a}$+k$\overrightarrow{b}$）=${\overrightarrow{a}}^{2}$+k$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=0，即16-6k=0，
解得k=$\frac{8}{3}$．
（2）（$\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}$）²=${\overrightarrow{a}}^{2}+4\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+4{\overrightarrow{b}}^{2}$=16-24+36=28．
∴|$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{28}=2\sqrt{7}$．

点评 本题考查了平面向量的数量级运算，属于基础题．