Question

17．四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥面ABCD，PA=$\frac{1}{2}$AB．
（1）求PC与面PAB所成角的正切值；
（2）设M在PC上，且PD⊥面MAB，求$\frac{PM}{MC}$．

Answer 1

分析 （1）证明BC⊥平面PAB，于是∠BPC即为所求角，设PA=1，求出PB，BC即可得出tan∠BPC；
（2）过M作MN∥CD交PD于N，连结AN，则A，B，M，N四点共面，由PD⊥平面MAB得出PD⊥AN，利用相似三角形计算PN，DN，于是$\frac{PM}{MC}=\frac{PN}{DN}$．

解答 解：（1）∵PA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，
∴PA⊥BC，
底面ABCD是正方形，∴BC⊥AB，
又PA?平面PAB，AB?平面PAB，PA∩AB=A，
∴BC⊥平面PAB，
∴∠BPC为直线PC与平面PAB所成的角，
设PA=1，则AB=BC=2，∴PB=$\sqrt{5}$，
∴tan∠BPC=$\frac{BC}{PB}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
∴PC与面PAB所成角的正切值为$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
（2）过M作MN∥CD交PD于N，连结AN，则A，B，M，N四点共面．
∵PD⊥面MAB，AN?平面MAB，
∴PD⊥AN．
∴Rt△PAN∽Rt△PDA．∴$\frac{AP}{PD}=\frac{PN}{AP}$．
设PA=1，则AD=AB=2，PD=$\sqrt{5}$．
∴PN=$\frac{A{P}^{2}}{PD}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，∴DN=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$．
∴$\frac{PM}{MC}=\frac{PN}{DN}$=$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查了线面垂直的判定与性质，线面角的计算，属于中档题．