Question

某中学在高一开设了数学史等4门不同的选修课，每个学生必须选修，且只能从中选一门．该校高一的3名学生甲、乙、丙对这4门不同的选修课的兴趣相同．
（1）求恰有2门选修课这3个学生都没有选择的概率；
（2）设随机变量ξ为甲、乙、丙这三个学生选修数学史这门课的人数，求ξ的分布列及期望，方差．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差

专题：概率与统计

分析：（1）利用古典概型概率计算公式结合排列绷知识能求出恰有2门选修课这3个学生都没有选择的概率．
（2）设数学史这门课这3个学生选择的人数为ξ，由题意知ξ=0，1，2，3，分别求出相对应的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．

解答： （本题满分12分）
解：（1）恰有2门选修课这3个学生都没有选择的概率：
p₁=

C 2 4 C 2 3 A 2 2

43

=

9

16

．（4分）
（2）设数学史这门课这3个学生选择的人数为ξ，
则ξ=0，1，2，3
P （ξ=0 ）=(

3

4

)3=

27

64

，
P（ξ=1）=

C

1 3

×

1

4

×(

3

4

)2=

27

64

，
P （ξ=2 ）=

C

2 3

×(

1

4

)2×

3

4

=

9

64

，
P （ξ=3 ）=(

1

4

)3=

1

64

，（8分）
∴ξ的分布列为：

ξ	0	1	2	3
P	27 64	27 64	9 64	1 64

∴期望Eξ=np=3×

1

4

=

3

4

，Dξ=3×

1

4

×

3

4

=

9

16

．（12分）

点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，解题时要认真审题，是中档题．