Question

8．已知函数$f（x）=\frac{1}{{1+{x^2}}}$，
（1）利用函数单调性定义证明函数f（x）在（-∞，0]上是增函数；
（2）求函数$f（x）=\frac{1}{{1+{x^2}}}$在[-3，2]上的值域．

Answer 1

分析 （1）根据增函数的定义，设任意的x₁＜x₂≤0，然后作差，通分，分解因式，从而证明f（x₁）＜f（x₂）便可得到f（x）在（-∞，0]上为增函数；
（2）容易看出f（x）为偶函数，从而由（1）可以得到f（x）在（0，+∞）上单调递减，从而x=0时f（x）取最大值，再比较f（-3），f（2）便可得出f（x）的最小值，从而得出该函数在[-3，2]上的值域．

解答 解：（1）证明：设x₁＜x₂≤0，则：
$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=\frac{1}{1+{{x}_{1}}^{2}}-\frac{1}{1+{{x}_{2}}^{2}}$=$\frac{（{x}_{2}+{x}_{1}）（{x}_{2}-{x}_{1}）}{（1+{{x}_{1}}^{2}）（1+{{x}_{2}}^{2}）}$；
∵x₁＜x₂≤0；
∴x₂-x₁＞0，x₁+x₂＜0；
又$1+{{x}_{1}}^{2}＞0，1+{{x}_{2}}^{2}＞0$；
∴f（x₁）＜f（x₂）；
∴f（x）在（-∞，0]上是增函数；
（2）由f（x）是偶函数得，f（x）在（-∞，0]上增，在（0，+∞）上减；
∴f_max（x）=f（0）=1，f（-3）=$\frac{1}{10}$，f（2）=$\frac{1}{5}$；
∴∴${f}_{min}（x）=\frac{1}{10}$；
∴f（x）的值域为$[\frac{1}{10}，1]$．

点评 考查增函数的定义，以及根据增函数的定义证明一个函数为增函数的方法和过程，作差的方法比较f（x₁），f（x₂），作差后是分式的一般要通分，偶函数的定义，偶函数在对称区间上的单调性，根据单调性求函数在闭区间上的最值从而求出函数值域的方法．