Question

7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知（a+b+c）（a-b-c）+3bc=0．
（1）求角A的大小；
（2）若a=2c cosB，试判断△ABC的形状．

Answer 1

分析 （1）将（a+b+c）（a-b-c）+3bc=0化简，利用余弦定理求出cosA；
（2）使用正弦定理得sinA=2sinCcosB，即sin（B+C）=2sinCcosB，化简得sin（B-C）=0，于是B=C．

解答 解：（1）在△ABC中，∵（a+b+c）（a-b-c）+3bc=0，∴a²-（b+c）²+3bc=0，
即b²+c²-a²=bc，∴cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}=\frac{1}{2}$
∴A=$\frac{π}{3}$．
（2）∵a=2ccosB，∴sinA=2cosBsinC，
∴sin（B+C）=2cosBsinC，
即sinBcosC-cosBinC=0，
∴sin（B-C）=0，
∴B-C=0，即B=C．
又A=$\frac{π}{3}$，故△ABC为正三角形．

点评 本题考查了正弦定理，余弦定理，属于中档题．