Question

【题目】如图，椭圆 的离心率为 ，其左焦点到点 的距离为 .不过原点 的直线 与 相交于 两点，且线段 被直线 平分.

（1）求椭圆 的方程；
（2）求 的面积取最大值时直线 的方程.

Answer 1

【答案】
（1）解：由题： ；
左焦点 到点 的距离为： .
由可解得： .
所求椭圆 的方程为： .
（2）解：易得直线 的方程： ，设 .其中 .
、 在椭圆上，
.
设直线 的方程为 ： ，
代入椭圆： .
显然 .
且 .
由上又有： .
.
点 到直线 的距离为： .
，
当且仅当 时，三角形的面积最大，此时直线 的方程 .
【解析】(1)由条件列出关于a,b,c的方程组求a,b,c的值得椭圆的方程;
(2)设出直线 A B 的方程,将三角形的面积表示为m的函数式,用导数求函数的最值.