Question

【题目】如图，在四棱锥 中，底面梯形 中， ，平面 平面 ， 是等边三角形，已知 ， ．

（1）求证：平面 平面 ；
（2）求二面角 的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：在 中，由于 ,
∴ ,故 ．
又 ，
，∴ 平面 ，
又 ，故平面 平面 ．
（2）如图建立 空间直角坐标系，

， ， ， ， ， ， ．
设平面 的法向量 ,
由
令 , ∴ ．
设平面 的法向量 ,
由 ，令 ，∴ ．
，∴二面角 的余弦值为
【解析】本题主要考查线面、面面垂直的证明以及利用空间向量求解二面角的大小的问题。（1）把证明面面垂直的问题转化为证明线面垂直，再把线面垂直问题转化为线线垂直问题，利用判定定理进行证明。（2）建立空间直角坐标系，找到坐标，利用二面角公式即可求解。
【考点精析】认真审题，首先需要了解平面与平面垂直的判定(一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直)．