Question

【题目】已知函数 .
（1）设 ，若曲线 在 处的切线很过定点 ，求 的坐标；
（2）设 为 的导函数，当 时， ，求 的取值范围.

Answer 1

【答案】
（1）解：依题意， ，
，
则曲线 在 处的切线为 ，
即 ，故切线必过定点
（2）解：设 ，
则 ，
设 ，
因为 在 恒成立，
所以 在 上单调递增，
则 ，
①当 ，即时，，
故 在 上单调递增，则 ，故 符合题意.
②当 ，即 时，取 ，
设 ，因为 在 上恒成立，
所以 在 上单调递增，
故 ，即 ，
又因为 ，且 在 上单调递增，
由零点判定定理， 使得 ，即 ，

故存在 ，使得 ，不符合题意，舍去，
综上所述， 的取值范围是 .
【解析】(1)求出函数的导函数进而得到切线的方程即可得出直线过的定点。(2)利用导函数的性质研究原函数的单调性。