Question

已知f（x）=

3

（cos²x-sin²x）-2cos²（x+

π

4

）+1的定义域为[0，

π

2

]．
（1）求f（x）的最小值．
（2）△ABC中，A=45°，b=3

2

，边a的长为函数3-

3

f（x）的最大值，求角B大小及△ABC的面积．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦定理

专题：三角函数的图像与性质,解三角形

分析：（1）利用二倍角公式和两角和公式对函数解析式化简，根据x的范围确定函数的最小值．
（2）利用正弦定理求得sinB的值，进而求得B，然后根据sinC=sin（A+B）求得sinC的值，最后利用三角形面积公式求得答案．

解答： 解：（1）f（x）=

3

（cos²x-sin²x）-2cos²（x+

π

4

）+1=

3

cos2x-[1+cos（2x+

π

2

）]+1=

3

cos2x+sin2x=2sin（2x+

π

3

），
∵x∈[0，

π

2

]，
∴2x+

π

3

∈[

π

3

，

4π

3

]，
∴-

3

2

≤sin（2x+

π

3

）≤1
∴函数f（x）的最小值为2×（-

3

2

）=-

3

，此时x=

π

2

．
（2）由（1）知函数3-

3

f（x）的最大值为6，
△ABC中，A=

π

4

，b=3

2

，a=6，
故sinB=

bsinA

a

=

3 2 sin45°

6

=

1

2

，
∵b＜a，
∴B为锐角，
∴B=

π

6

，
∴C=π-

π

4

-

π

6

=

7π

12

，
sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=

2

2

×

3

2

+

1

2

×

2

2

=

2 + 6

4

∴S_△ABC=

1

2

absinC=

1

2

×6×3

2

×

2 + 6

4

=

9( 3 +1)

2

．

点评：本题主要考查了正弦定理的应用，两角和公式和二倍角公式的化简求值，三角函数图象与性质．综合性较强．