题目内容

8．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$（α为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$．
（Ⅰ）将曲线C的参数方程化为普通方程，将直线l的极坐标方程化为直角坐标方程；
（Ⅱ）设点P在曲线C上，求点P到直线l的最大距离．

分析 （Ⅰ）利用三种方程的转化方法，即可得出结论；
（Ⅱ）设P（2cosθ，sinθ），利用点到直线的距离公式及正弦函数的单调性即可得出．

解答 解：（Ⅰ）曲线C的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$（α为参数），普通方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1；
直线l的极坐标方程为ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$，即$\frac{\sqrt{2}}{2}（ρsinθ+ρcosθ）=\sqrt{2}$，直角坐标方程为x+y-2=0；
（Ⅱ）设P（2cosθ，sinθ），
则点P到直线l距离d=$\frac{|2cosθ+sinθ-2|}{\sqrt{2}}$=$\frac{|\sqrt{5}sin（θ+α）-2|}{\sqrt{2}}$．
∴点P到直线l距离的最大值为$\frac{2+\sqrt{5}}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$+$\frac{\sqrt{10}}{2}$．

点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、点到直线的距离公式及正弦函数的单调性，属于中档题．

练习册系列答案
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