Question

13．若△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a+b=2，∠C=120°，则边c的最小值是$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由已知利用平方和公式，基本不等式可求ab≤1，又∠C=120°，利用余弦定理即可计算得解．

解答 解：∵a+b=2，
∴a²+b²+2ab=4≥2ab+2ab=4ab，解得：ab≤1，（当且仅当a=b时等号成立），
又∵∠C=120°，
∴c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}-2abcosC}$=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}+ab}$=$\sqrt{（a+b）^{2}-ab}$=$\sqrt{4-ab}$≥$\sqrt{3}$（当且仅当a=b时等号成立），
故答案为：$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查了平方和公式，基本不等式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．