Question

11．如图1，已知四边形BCDE为直角梯形，∠B=90°，BE∥CD，且BE=2CD=2BC=2，A为BE的中点．将△EDA沿AD折到△PDA位置（如图2），连结PC，PB构成一个四棱锥P-ABCD．

（Ⅰ）求证AD⊥PB；
（Ⅱ）若PA⊥平面ABCD，求点C到平面PBD的距离．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出ABCD为平行四边形，AD∥BC，AD⊥BE，AD⊥AB，AD⊥PA，从而AD⊥平面PAB，由此能证明AD⊥PB．
（Ⅱ）利用等体积方法，求点C到平面PBD的距离．

解答 （Ⅰ）证明：在图1中，因为AB∥CD，AB=CD，
所以ABCD为平行四边形，所以AD∥BC，
因为∠B=90°，所以AD⊥BE，
当三角形EDA沿AD折起时，AD⊥AB，AD⊥AE，
即：AD⊥AB，AD⊥PA，
又AB∩PA=A，所以AD⊥平面PAB，
又因为PB?平面PAB，所以AD⊥PB．---------------------------------------------------（6分）
（Ⅱ）解：PA⊥平面ABCD，${S_{△BCD}}=\frac{1}{2}$，
∵$PD=BD=PB=\sqrt{2}$，∴${S_{△PBD}}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∵PA=1，设点C到平面PBD的距离为h
∴V_C-PBD=V_P-BCD，∴$\frac{1}{3}•\frac{{\sqrt{3}}}{2}•h=\frac{1}{3}•\frac{1}{2}•1$，∴$h=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
答：点C到平面PBD的距离为$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．------------------------------------（12分）

点评 本题考查异面直线垂直的证明，考查点C到平面PBD的距离，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．